我也是物理爱好者。——译注

黑洞仿佛就是一个宏达的自然边界,在黑洞里,我们所知的量子理论和经典力学都将失效。物理学家逼不得已产生了一些实在奇怪的想法,比如我们的宇宙是一个全息图,它所有的信息都存储在一个巨大的围绕着我们的二维表面上。物理学家们被置于一个矛盾的潘多拉魔盒中:毫无疑问,对于探险者来讲,当自身全部穿过黑洞时,可能不会发现有什么异样,但是,外面的观察者可能会看到探险者在横穿黑洞时,被撕扯变形,这两个故事很可能都是对的,匪夷所思吧。无论如何,这很屌吧。

在诺兰的电影《星际穿越》中,一个巨大的黑洞置于太空之中,险峻而庄严,它对光的限制超出常理。我从这部电影中第一次感受到了引力透镜的优美,以前经常在物理的教科书里面看到引力透镜这个概念,但是从来没有看到过这么引人入胜的阐释。因此最近我决定研究一下引力透镜,看看能用学到的东西做点什么。

沿用通常的做法,选一个名词,做一个 .js 文件,我非常傲娇地释出 black-hole.js(GitHub)。它利用 numeric.js 的数值微分方程求解器,和 glfx.js 漂亮的 WebGL 绘制工具,来渲染出黑洞的引力透镜。

示例

在下面的画布上移动你的鼠标,可以看到一个黑洞会跟着移动。

译注:由于知乎专栏的限制,可以到原文 black-hole.js 查看效果。

引力透镜是什么?

爱因斯坦对物理做出的杰出贡献之一就是提出这样一种观点——引力除了让物体互相吸引之外,还会造成空间本身的扭曲。也就是说,在宇宙中,就算是微不足道的、几乎没有质量的光子都会受到巨大天体的吸引。有一个关于黑洞的普遍的共识就是,它们强大的引力可以把光线限制在黑洞的边缘内,让一个球形的空间内没有一点光亮(这也是名字的由来)。但想想看从黑洞边缘经过的那些光线,它们一定会发生强烈的弯曲,但是很可能不会被捕捉到黑洞中。

在黑洞的边缘存在几种奇怪现象。由于空间强烈弯曲,距离黑洞一边较远的元素很可能出现在靠近另一边的位置上;非常靠近黑洞边缘的被弯曲的光线很可能绕一圈回来达到观察者的眼睛里,这意味着你很可能在被黑洞弯曲的光线中看到你自己。

如果想要计算这些引力透镜效果,我们需要深入了解一点数学相关的只是。在 Wikipedia 上有严谨的解释,也有通俗的,但我找到了一个最好的总结,即 Jason 发布在jasmcole.com 的一篇博文。自行查看他的这篇文章,学习关于引力透镜的详细的一些物理细节。

图片来自 jasmcole.com

如果有一束光线从观察着的眼睛中发出,以 \theta_{in} 的角度射向黑洞,观察者与黑洞距离为 r_0,如果能够知道光线远离黑洞时的角度 \theta_{out} 就好了。我们可以使用极坐标(r为距离黑洞距离, \phi 角为光子、黑洞和观察者三者形成的夹角)来跟踪黑洞周围光线的路径。据我所知,对于 \theta_{in}\theta_{out} 之间的关系没有闭型解(closed-form solution),但是,要感谢 jasmcole.com Jason 专业的物理知识,有一个常微分方程可以表示这些量之间的关系。

闭型解:用基本函数(例如多项式、三角函数、对数指数函数等等)及特殊函数给表达出来的解,或者说是能以某种确定形式表达出来的解。——译注

\frac{d^2(1/r)}{d \phi^2} + \frac{1}{r} = \frac{3 G M}{c^2 r^2}

进一步简化,使用 u 代替 \frac{1}{r},令 G = M = c = 1,我们得到了一个很简单的二阶微分方程(2nd order ODE)。 \frac{d^2 u}{d \phi^2} = 3 u^2 - u

如果我们针对单个 \theta_{in} 求解这个微分方程,我们可以知道光子路径的 xy 坐标,并找出光子最终会落在什么地方。重复对多个 求解,我们将会获得足够多的数据,找到 \theta_{in}\theta_{out} 的对应关系。你可以使用 MATLAB 或者类似的工具来求解这个微分方程。但是因为我想创建一个 JavaScript 组件,并且最终参数都是可以配置的,所以我决定使用 numeric.js,一个非常棒的数学计算类库,有在线的试验台 REPL 可用,有曲线图,也可以调试。

使用 mumeric.js 来求解 2nd order ODE(二阶微分方程)

numeric.js 包含了很多有用的数学工具,你可以到这里学习,并可以在在线试验台试试看。对于我们来讲 numeric.dopri() 是我们比较关心的一个函数,它采用 Dormand-Prince RK 方法进行微分方程的积分运算。通俗解释就是这个函数接受一个微分方程作为输入,输出一系列很多的满足微分方程限制的点,这样我们就可以把图绘制出来了。

试试看能不能把我们的微分方程转成 numeric.dopri() 可以接受的形式。这要求我们的微分方程变成一个接受两个参数的函数的形式:一个独立的变量(我们这里就是 \phi),以及一个矢量包含两个独立的变量,在我们这里就是 uu' 。然后它还期望我们返回一个矢量,包含 u'u'' 。写出来的微分方程函数如下:

var blackHoleODESystem = function (phi, vec) {
  var u = vec[0];
  var u_prime = vec[1];
  var u_double_prime = 3*u*u - u;
  return [u_prime, u_double_prime];
}

为了求解我们的微分方程,numeric 需要知道 uu'' 的初始值。不复杂,u_0=\frac{1}{r_0},然后可以通过几何学的方法找出 u'_0=\frac{1}{r_0⋅tan(\theta{in})}。根据经验,我发现把 r_0 设置 20 可以产生更漂亮的结果。你可以使用不同的 \theta_{in} 来测试看看路径是什么样子,我发现当 \theta_{in} < 15° 时,路径会掉入到黑洞中,在 16° 和 18° 之间时,产生的路径会转一圈回到观察者的眼里。

有了系统的初始值,我们可以调用 numeric.dopri() ,给出满足微分方程的坐标:

var getBlackHoleSolution = function (startAngle, startRadius, startPhi, endPhi, optionalNumIterations) {
  var numIterations = optionalNumIterations || 100;
  return numeric.dopri(
    startPhi, 
    endPhi, 
    [1.0/startRadius, 
     1.0/(startRadius * Math.tan(startAngle))], 
    blackHoleSystem, 
    undefined, // tolerance not needed
    numIterations
  );
}

var startAngleInDegrees = 15;
var startRadius = 20;

var sol = getBlackHoleSolution(
  startAngleInDegrees * Math.PI / 180, 
  startRadius, 
  0, 
  10 * Math.PI);

要能把产生 xy 坐标绘制出来看到环绕黑洞的路径就好了。用下面这个方法可以实现:

var getXYPhotonPathFromSolution = function (sol) {
  // Note: transpose(sol.y)[0] contains the u values. 
  // transpose(sol.y)[1] contains u_prime values.
  var rValues = numeric.transpose(sol.y)[0]
    .map(function (u) {
      // we want the radius r = 1/u
      return 1 / u; 
    });
  var phiValues = sol.x;
  var photonPath = [];
  for (var i = 0; i < rValues.length; i++) {
    // Negative r is nonsensical, and this can occur as 
    // radius goes to infinity. Stop when you start 
    // hitting infinity
    if (rValues[i] < 0) break; 
    var x = rValues[i] * Math.cos(phiValues[i]);
    var y = rValues[i] * Math.sin(phiValues[i]);
    photonPath.push([x, y]);
  }
  return photonPath;
}

终于,我们可以使用 numeric.js 的试验台 REPL 标出光子路径的 xy 坐标了。你需要把之前的函数拷贝到 REPL 中,这样你才可以在上面的函数中使用它们。

为了在 REPL 中绘制答案,我们需要完成几个操作:如果把绘图的边界定死就可以很容易地看到结果,因此我们首先设置绘图默认的边界。接着,创建两个解,一个是 15° 角的光线,另一个是 40° 角。然后,我们获取这两个解的光子的 xy 路径。最后,绘制结果。

> var plotOptions = { xaxis: { min: -20, max: 20 }, yaxis: { min: -20, max: 20 } }
> var sol1 = getBlackHoleSolution(15 * Math.PI / 180, startRadius, 0, 10 * Math.PI);
> var sol2 = getBlackHoleSolution(40 * Math.PI / 180, startRadius, 0, 10 * Math.PI);
> var photonPath1 = getXYPhotonPathFromSolution(sol1);
> var photonPath2 = getXYPhotonPathFromSolution(sol2);
> workshop.plot([photonPath1, photonPath2]);

这里有多个角度的绘图结果。初始角度很小的路径在黑洞周围打了个转就掉了进去。稍微大一点角度的光线可以让观察者看到圆角,角度很大的光线只是稍微偏转了一点点。

构造一个合适的从 \theta_{in} 映射到 \theta_{out} 的多项式函数

现在给定一个 \theta_{in} 我们可以得到光子的 xy 坐标路径,那我们如何根据这个路径找到 \theta_{out}。我发现把样本假定为100个在 0° 到 80° 之间的初始角度效果最好。给定一个光子路径的 xy 坐标,我们采取如下步骤:

  • 初始角度较小时,根本就没有\theta_{out},因为这些光线实际上直接跌入到黑洞中。要确定光子路径是否跌入到黑洞中,我们需要检查最终的坐标与黑洞(0,0)的距离是否在一个很小的距离内。我们将最终找到一个最大跌入黑洞路径的初始角度,并记住它;

  • 对于其他的初始角度,光子最终离黑洞就有一定距离了。对于结果角度 \theta_{out} 的确定,我们只需要简单的通过在 xy 路径上最后两点的斜率的反正切值获取即可。在结果中,有些角度表示光线射到了图片边缘之外,还有的甚至转回到观察者的眼里。最终决定如何挥着这些点完全取决于你。因为,与自然界不同,我们没有周围完整的 3D 的图片信息。我最终就是简单地逼近到了最靠边的像素,看起来也还可以。

一旦我们有了入射角度到射出角度的对应表,就可以借助 numeric.uncmin() 函数生成一个合适的多项式函数。我们可以给 numeric.js 设置一个“最小方差”问题来优化,为多项式函数选择最佳的系数以逼近我们的数据。我发现,有一个简单的二阶多项式函数匹配度最高。这个函数是: f(\theta_{in}) = c_0 + c_1 \theta_{in} + c_2 \theta_{in}^2

下面是 numeric.js 用来进行方差优化(函数求值结果与我们的数据之间的)的算法,它将不断地尝试有可能的 c_{i},直到函数与数据非常接近:

  • 选择c_0c_1c_2,确定一个新的多项式函数;

  • 计算下面这个公式的和: \sum_{i = 0}^{n} (f(\theta_{in_i}) - \theta_{out_i})^2

  • 不断调整 c_0c_1c_2 的值,直到上式的结果足够小。

用 JavaScript 表示这个过程如下:

var angleTables = computeBlackHoleTables(startRadius, numAngleDataPoints, maxAngle, optionalNumIterationsInODESolver);
var polynomial = function (params, x) {
  var sum = 0.0;
  for (var i = 0; i <= polynomialDegree; i++) {
    sum += params[i] * Math.pow(x, i);
  }
  return sum;
}
var initialCoeffs = [];
for (var i = 0; i <= polynomialDegree; i++) {
  initialCoeffs.push(1.0);
}
var leastSquaresObjective = function (params) {
  var total = 0.0;
  for (var i = 0; i < angleTables.inAngles.length; i++) {
    var result = polynomial(params, angleTables.inAngles[i]);
    var delta = result - angleTables.outAngles[i];
    total += (delta * delta);
  }
  return total;
}
var minimizer = numeric.uncmin(leastSquaresObjective, initialCoeffs);
var polynomialCoefficients = minimizer.solution;

借助简单的几何学渲染结果

方法如上图所示。当要确定在最终图片红点位置上应当绘制什么时,它给出了可能的答案。我们发现应该绘制的来自于原始图片绿点的内容。

算法如下。首先,我们需要确定观察者里“像素空间”里的图像平面的距离。既然我们已经指定了一个视角,那距离就是 B = diagonal/(2 \cdot tan(fov/2)) ,接着,就可以计算任何坐标为 xy 像素的入射角 \theta_{in} 了。 d = \sqrt{(x-x_{bh})^2 + (y-y_{bh})^2)} \theta_{in} = arctan \frac{d}{B}

现在对于给定的 xy 坐标我们已经有了 \theta_{in},我们该如何确定对应的 \theta_{out} 呢?之前我们已经创建了一个合适的多项式函数,f(\theta_{in}) 。调用这个函数就可以获得 \theta_{out}。如果这个 \theta_{out} 小于黑洞的角度,我们就描黑。如果大于黑洞的角,我们求出它里黑洞的距离,d_{out} = B \cdot tan \theta_{out}。距离的值有可能为正,也有可能为负,取决于 \theta_{out} 的值。如果为负,(x_{out}, y_{out}) 将出现在黑洞 (x_{in}, y_{in}) 的另一个方向。射出的 xy 坐标可以这样计算出来:射入点 xy 和黑洞之间的单位向量乘以射出时的距离 d_{out}

然后射出点的坐标就有了。

我的天 HTML5、WebGL 和 着色器!

我第一次尝试在浏览器中绘制黑洞时那是悲喜交加呀。使用 HTML5 Canvas 和 ImageData 对象,我可以很快地在背景图片的中央绘制一个静态的黑洞。但当我修改插件,让黑洞可以跟着我的鼠标在背景图片上移动时,程序就开始死命的卡了。帧和帧之间有大约 300 ~ 到 400 ms 的延迟。是尝试了几个 HTML5 hack,但是没什么效果。

要知道,渲染过程本身其实是可以并行的。初始角度可以独立地生成输出角度,之间没有什么依赖。GPU 应该能够很好地处理这种事情。我决定学习 WebGL GLSL 着色器的时间到了。

GLSL:OpenGL着色语言(OpenGL Shading Language)是用来在OpenGL中着色编程的语言,也即开发人员写的短小的自定义程序,他们是在图形卡的GPU (Graphic Processor Unit图形处理单元)上执行的,代替了固定的渲染管线的一部分,使渲染管线中不同层次具有可编程型。比如:视图转换、投影转换等。GLSL(GL Shading Language)的着色器代码分成2个部分:Vertex Shader(顶点着色器)和Fragment(片断着色器),有时还会有Geometry Shader(几何着色器)。负责运行顶点着色的是顶点着色器。它可以得到当前OpenGL 中的状态,GLSL内置变量进行传递。GLSL其使用C语言作为基础高阶着色语言,避免了使用汇编语言或硬件规格语言的复杂性。——百度百科

作为了一个 Web 和 移动为主的工程师来讲,使用 WebGL 来绘制东西有大量的模板代码需要编写。我想尽量保持 WebGL 代码的简洁,希望可以借助任何开源的类库,让我们程序可以把注意力放在有趣的引力透镜上。我找到了一个非常不错的可作为基础的类库。glfx.js 这个库真的很棒。它的主页甚至在明显的位置展示黑洞漩涡式的效果,可以跟着鼠标的移动,帧率很高。这绝对就是正确的方向。

glfx.js 提供了很多有趣且易用的效果,从漩涡到鼓起的镜头应有尽有,可以用在 2D 图片上。我做了相当的尝试给它扩展出一个黑洞渲染函数,但最终我还是修改 glfx.js 的代码。

黑洞的效果是通过 GLSL 着色器创建的。GLSL 调试起来真的有点难:因为没有console.log。有趣的是常常会碰上这样的限制——只允许使用一个固定的整数索引或者在一个 for 循环中依次访问一个数组。最终,GLSL 很好玩,开发过程需要不断的做出小的微调,看着成千上万的像素掉到处乱飞,直到达到最终的效果。

在 GLSL 中,你需要定义统一的包含所有的像素的值让 GPU 去处理。为了让算法可以工作,我需要传递几个重要的值:黑洞的 xy 坐标,最大“陷入黑洞”的的角度,在“像素世界”中观察者到图像平面的距离,还有最难的,角度多项式表。大多数的值类型都很容易确定,基本上不是浮点数就是二维向量,即包含两个浮点数向量。

然而,传递角度多项式表就有点困难,因为有可能包含变量的长度。你可以通过创建一个 sampler2D texture 来实现,包含两行,一行给入射角,另外一行给射出角,并通过协调 ImageData 和 Canvas 对象来拐弯抹角地初始化它。据我所知,要导入动态大小的对象到着色器中只有一种方式,而且,据统计,它们比起固定大小的数组来会减慢 GPU 的速度。你也可以把角度多项式表当做一个固定大小的浮点数数组导入,但是在编译阶段每个数组必须定义一个固定的大小。我的黑洞着色器,和 glfx.js 的其他着色器一样,实际上就是一段编写好的传递给着色器构造函数的字符串。因此,我可以爱运行时构建这个字符串,在必要时把长度插入到字符串中,最后将其传递给着色器对象去编译。

这就是着色器的全部。原谅我这里使用了 ‘\’ 字符,将同一个字符串分割到多行。

/**
 * Gravitational lensing effect due to black hole.
 */
function blackHole(centerX, centerY, blackHoleAngleFn, fovAngle) {
    var anglePolynomialCoefficients = blackHoleAngleFn.anglePolynomialCoefficients;
    var numPolynomialCoefficients = anglePolynomialCoefficients.length;
    gl.blackHoleShaders = gl.blackHoleShaders || {};
    gl.blackHoleShaders[numPolynomialCoefficients] = gl.blackHoleShaders[numPolynomialCoefficients] || new Shader(null, '\
    /* black hole vars */\
    uniform float distanceFromViewerToImagePlane;\
    uniform float maxInBlackHoleAngle;\
    uniform vec2 blackHoleCenter;\
    uniform float anglePolynomialCoefficients[' + numPolynomialCoefficients + '];\
    /* texture vars */\
    uniform sampler2D texture;\
    uniform vec2 texSize;\
    varying vec2 texCoord;\
    \
    float anglePolynomialFn(float inAngle) {\
      float outAngle = 0.0;\
      for (int i = 0; i < ' + numPolynomialCoefficients + '; i++) {\
        outAngle += anglePolynomialCoefficients[i] * pow(inAngle, float(i));\
      }\
      return outAngle;\
    }\
    \
    void main() {\
        vec2 coord = texCoord * texSize;\
        vec2 vecBetweenCoordAndCenter = coord - blackHoleCenter;\
        float distanceFromCenter = length(vecBetweenCoordAndCenter);\
        float inAngle = atan(distanceFromCenter, distanceFromViewerToImagePlane);\
        /* Completely black if in black hole */\
        if (inAngle <= maxInBlackHoleAngle) {\
            gl_FragColor = vec4(0.0, 0.0, 0.0, 1.0);\
            return;\
        }\
        float outAngle = anglePolynomialFn(inAngle);\
        float outDistanceFromCenter = tan(outAngle) * distanceFromViewerToImagePlane;\
        vec2 unitVectorBetweenCoordAndCenter = vecBetweenCoordAndCenter / distanceFromCenter;\
        vec2 outCoord = blackHoleCenter + unitVectorBetweenCoordAndCenter * outDistanceFromCenter;\
        outCoord = clamp(outCoord, vec2(0.0), texSize);\
        gl_FragColor = texture2D(texture, outCoord / texSize);\
    }');

    var h = this.height;
    var w = this.width;
    var distanceFromViewerToImagePlane = Math.sqrt(h*h + w*w) / Math.tan(fovAngle);

    simpleShader.call(this, gl.blackHoleShaders[numPolynomialCoefficients], {
        anglePolynomialCoefficients: {
          uniformVectorType: 'uniform1fv',
          value: anglePolynomialCoefficients
        },
        distanceFromViewerToImagePlane: distanceFromViewerToImagePlane,
        maxInBlackHoleAngle: blackHoleAngleFn.maxInBlackHoleAngle,
        blackHoleCenter: [centerX, centerY],
        texSize: [this.width, this.height]
    });

    return this;
}

在我修改了 glfx.js 之后,最终的绘图的代码精简到下面这几行:

var blackHoleAngleFn = BlackHoleSolver
  .computeBlackHoleAngleFunction(
    distanceFromBlackHole, 
    polynomialDegree, 
    numAngleTableEntries, 
    fovAngleInDegrees);

// ... on mouse move
canvas.draw(texture)
  .blackHole(x, y, 
    blackHoleAngleFn, 
    fovAngleInRadians)
  .update();

搞定了,所有人的引力透镜!就是 Muffins 先生也是如此。

再来一个示例?

译注:由于知乎专栏的限制,可以到原文 black-hole.js 查看效果。

原文:http://cliffcrosland.tumblr.com/post/115981256393/black-hole-js

外刊君推荐阅读:

  1. http://jasmcole.com/2014/10/04/what-do-black-holes-look-like/

  2. 科普黑洞虫洞,备战星际穿越 (星际穿越 影评)

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